在学校时上过好几门课程里面都有关于原码、反码和补码等的概念，当时虽然看明白了书上所写的，但总觉得还少了些什么。前段时间又看了一下，从函数映射的角度进行理解，为避免遗忘，记录于此。

一.   问题定义

同一问题存在多种表述方法。每一种方法都会先澄清问题本身并给出一些概念定义，然后在此基础上解决问题。

在现实世界中，有符号整数由两部分组成，符号和数字。符号可以是“+”(可以省略)或者“-”，数字可以用十进制、二进制、二十四进制等进制来表示。比如十进制的23、-12，二进制的+101、-100等等。

而在计算机内部，不存在和现实世界中的符号唯一对应的标记，所有数值(包括其符号)都要由0或者1来构成。

假设在计算机内部用8位来表示一个有符号整数，则其所有的可能取值为：从00000000到11111111，共256个。这256个取值到底代表着现实世界中的哪个整数，负数还是正数，取决于我们对有符号整数的计算机表示方法（比如用反码表示还是用补码表示）。

因此，计算机的内部表示中，无所谓存在符号的概念，所以，我们可以将这256个取值记为整数集合[0, 255]。

所以，原命题“有符号整数的计算机表示”就转换成了：从现实世界中某个范围的整数到集合[0 255]的映射。

      如果你不喜欢用8来举例，可以使用更为一般化的N，只需要将本文中的256修改为2^N，将255修改为(2^N)-1，将128修改为2^(N-1)。

      (如有转载，请全文无遗漏的转载，谢谢。)

二.   到集合[0 255]的映射

以下分别讨论原码、反码、补码等的映射

2.1              原码

定义域X1： [-127, 127]

值域Y1：[0, 255]

映射f1：这是一个分段函数

      F1(x) = x       当 0<=x<=127

      F1(x) = 128-x 当 -127<=x<=0

      从严格意义上来说，这并不是一个函数，因为对x=0对应着两个y值。

2.2              反码

定义域X2： [-127, 127]

值域Y2：[0, 255]

映射f2：这是一个分段函数

      F2(x) = x        当 0<=x<=127

      F2(x) = 255+x 当 -127<=x<=0

      从严格意义上来说，这并不是一个函数，因为对x=0对应着两个y值。

2.3              补码

定义域X3： [-128, 127]

值域Y3：[0, 255]

映射f3： f3(x) = x mod 256 (mod是求余操作，x mod y 是指x整除y得到的余数)

      例：F3(127) = F3(127+0*256) = 127

           F3(0) = F3(0+0*256) = 0

           F3(-2) = F3(254+(-1)*256) = 254

           F3(-128) = F3(128+(-1)*256) = 128

用分段函数表示为：

      F3(x) = x        当 0<=x<=127

      F3(x) = 256+x 当 -128<=x<0

2.4              IEEE float中指数(占8位)的偏移 (8 bit excess-127)

定义域X4： [-127, 128]

值域Y4：[0, 255]

映射f4：f4(x) = x + 127

试着在平面直角坐标系中画出上述四个函数。

三.   更多性质

3.1              补码的加减法一致性

假设有m、n属于[-128, 127]，且m+n属于[-128,127]，则有F(m)属于[0,255], F(n)属于[0 255]

则 F3(m+n) = (m+n) mod 256 = (m mod 256) + (n mod 256) + k*256 = F3(m) + F3(n) + k*256

     当F3(m) + F3(n) < 256时，k = 0。

     当F3(m) + F3(n) >= 256时，k=-1。在8位的计算机表示中，刚好可以用溢出来体现。

如果m+n不属于[-128,127]，X86 CPU的标志寄存器会置上溢出标志。

如果F3(m)和F3(n)的最高位相同，而F3(m+n)的最高位不同，即结果溢出。

只有补码F3具有这样的性质。

3.2              某数的补码的补码是该数的原码

我们一般都是从“某数的补码是该数的原码取反加1”来理解这句话的。也就是说，“某数的补码”是从定义域X1到Y1再到Y3的两次映射的合映射，命题中第二个“的补码”则是从Y3到Y1的映射。本命题成立的本质原因是因为从Y1到Y3的映射和从Y3到Y1的映射都是“符号位不变，其他位取反加1”，而这实质上就是“部分位取反”(也是求补码快速方法的原因)。

    个人认为，这其实是个残缺的命题。首先，原码和补码所对应的定义域X1和X3是不同的。其次，本命题本质上说的是两次取反加1的不变性，虽然补码的本质也是取反加1，虽然两者从具体操作上来说是相同的，但是，补码有其自己的意义，个人认为，本命题使用补码这个概念名词来表述是不妥当的。

四.   说明

本文并没有提出新的东西，只是试图从整体上将逻辑脉络梳理的清晰一点。

在其他资料可能会看到一些类似但又不完全相同的表述，因为正如开头所说的那样，同一问题存在多种表述方法。每一种方法都会先澄清问题本身并给出一些概念定义，在不同的前提定义下，需要仔细考虑是否存在可比性。

写于2008年5月

顺便补充和本文主旨无关的一个问题，已知补码求其原数（即从Y3到X3的映射）。其方法示例：

11111011₂ = −128+64+32+16+8+0+2+1 = ( − 2⁷ + 2⁶ + ...) = − 5

参考文献：

http://en.wikipedia.org/wiki/Signed_number_representations

http://en.wikipedia.org/wiki/Two's_complement